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设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x>0时,证明不等式:<ln(x+1)<x;
(3)设f(x)的最小值为g(a),证明不等式:-1<ag(a)<0

(1) f(x)在(-1,)为减,在(,+)为增
(2)将所证明的不等式利用构造函数,借助于导数的思想求解最值,来证明不等式恒大于等于零或者恒小于等于零即可。
(3)在上一问的基础上,进一步分析得到a的表达式,利用构造函数来求证。

解析试题分析:解:(1)f’(x)=(x>-1,a>0)
令f’(x)=0
f(x)在(-1,)为减,在(,+)为增 f (x)min=f()=1-(a+1)ln(+1)
(2)设F(x)=ln(x+1)-
F’(x)=F(x)在(0,+)为增函数
F(x)>F(0)="0" F(x)>0即
G(x)=x-ln(x+1)(x>0)
G’(x)=1-   G(x)在(0,+)为增函数
G(x)>G(0)="0"  G(x)>0即ln(x+1)<x
经上可知
(3)由(1)知:





考点:本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
点评:导数在函数中的应用,频率最多的试题就是考查函数的单调性,以及证明不等式。那么对于后者的求解,关键是构造函数,借助于函数的最值来得到证明。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分14分)
已知函数…是自然对数的底数)的最小值为
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)已知,试解关于的不等式
(Ⅲ)已知.若存在实数,使得对任意的,都有,试求的最大值.

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已知函数,(为自然对数的底数).
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)函数在区间上恒为正数,求的最小值;
(Ⅲ)若对任意给定的,在上总存在两个不同的,使得成立,求的取值范围.

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(本小题满分12分)
一片森林原来面积为,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的.
(Ⅰ)求每年砍伐面积的百分比;
(Ⅱ)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(Ⅲ)今后最多还能砍伐多少年?

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(12分)已知定义域为的偶函数.
(1)求实数的值;
(2)判断并证明的单调性;
(3)若对任意恒成立,求实数的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

对于函数,若存在x0∈R,使方程成立,则称x0的不动点,已知函数a≠0).
(1)当时,求函数的不动点;
(2)若对任意实数b,函数恒有两个相异的不动点,求a的取值范围;

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(满分12分)
已知函数.
(1)判断并证明函数的单调性;
(2)若函数为奇函数,求的值;
(3)在(2)的条件下,若恒成立,求实数的取值范围.

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(本题满分13分)已知函数
(1)当时,求函数的极值;
(2) 若在[-1,1]上单调递减,求实数的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数

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