Question

已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）与直线AC，BC分别交于点M，N，且将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是（　　）

• A、（1-

  2

  2

  ，

  1

  3

  ]
• B、[

  1

  3

  ，

  1

  2

  ）
• C、（1-

  2

  2

  ，

  1

  2

  ）
• D、（0，1）

Answer 1

考点：三角形的面积公式,直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为P（-

b

a

，0），由-

b

a

≤0可得点P在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合，求得b=

1

3

；②若点P在点O和点A之间，求得 b＜

1

2

；③若点P在点A的左侧，求得b＞1-

2

2

，综合起来可得结论．

解答： 解：由题意可得，三角形ABC的面积为 S=

1

2

•AB•OC=1，
由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为P（-

b

a

，0），点P在射线OA上．
直线和BC的交点为 N，则由

y=ax+b x+y=1

，可得点N的坐标为（

1-b

a+1

，

a+b

a+1

），
①若点P和点A重合，则点N为线段BC的中点，则

b

a

=-1，且

a+b

a+1

=

1

2

，解得a=b=

1

3

，
②若点P在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于

1

2

，即

1

2

•MB•yN=

1

2

，
即

1

2

•（1+

b

a

）•

a+b

a+1

=

1

2

，解得a=

b2

1-2b

＞0，故b＜

1

2

，
③若点P在点A的左侧，则-

b

a

＜-1，b＞a，直线y=ax+b和AC的交点为M，
则由

y=ax+b y=x+1

求得点M的坐标为（

1-b

a-1

，

a-b

a-1

），
此时，MN=

( 1-b a+1 - 1-b a-1 )2+( a+b a+1 - a-b a-1 )2

=

2|1-b|

|(a-1)(a+1)|

1+a2

，
此时，点C（0，1）到直线y=ax+b的距离等于

|0-1+b|

1+a2

，
由题意可得，三角形CPN的面积等于

1

2

，即

1

2

•

2|1-b|

|(a-1)(a+1)|

1+a2

|1-b|

1+a2

=

1

2

，
化简可得2（1-b）²=|a²-1|．
由于此时 0＜b＜a＜1，∴2（1-b）²=|a²-1|=1-a² ．
两边开方可得

2

（1-b）=

1-a2

＜1，则1-b＜

1

2

，即b＞1-

2

2

，
综合以上可得，b=

1

3

可以，且b＜

1

2

，且b＞1-

2

2

，即b的取值范围是（1-

2

2

，

1

2

），
故选：C．

点评：本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．