Question

设

a

=（1，2），

b

=（1，1）且

a

与

a

+λ

b

的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（　　）

• A、（-

  5

  3

  ，0）∪（0，+∞）
• B、（-

  5

  3

  ，+∞）
• C、[-

  5

  3

  ，0）∪（0，+∞）
• D、（-

  5

  3

  ，0）

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：若设θ为

a

与

a

+λ

b

的夹角，θ为锐角⇒cosθ＞0，且cosθ≠1，根据条件及两向量夹角的余弦公式即可求得λ的取值范围，并且在求|

a

+λ

b

|时，先求它的平方．

解答： 解：

a

•(

a

+λ

b

)=（1，2）•（1+λ，2+λ）=3λ+5，(

a

+λ

b

)2=

a

2+2λ

a

•

b

+λ2

b

2=5+6λ+2λ²，|

a

|=

5

；
∴设

a

与

a

+λ

b

的夹角为θ且θ为锐角，则：
cosθ=

a •( a +λ b )

| a || a +λ b |

=

3λ+5

5 2λ2+6λ+5

＞0，且

3λ+5

5 2λ2+6λ+5

≠1
∴解得：λ＞-

5

3

，且λ≠0．
∴实数λ的取值范围是(-

5

3

，0)∪(0，+∞)．
故选A．

点评：本题考查的知识点为：向量数量积的坐标运算，由坐标求模，向量夹角的余弦公式，不要漏了cosθ≠1的情况．