Question

13．已知 （$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$+y）⁶的展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$y的项的系数为15，则a=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 将原式化为[（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）+y]⁶，由通项公式可得T_r+1=${C}_{6}^{r}$（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）^6-r•y^r，求得r=1，再由通项公式可得T_l+1=${C}_{5}^{l}$（$\sqrt{x}$）^5-l（-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）^l=${C}_{5}^{l}$（-a）^lx${\;}^{\frac{5-2l}{2}}$，令$\frac{5-2l}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得l=1，解方程即可得到a的值．

解答 解：（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$+y）⁶=[（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）+y]⁶，
可得通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）^6-r•y^r，r=0，1，2…，6
由展开式中含${x^{\frac{3}{2}}}$y，可得r=1，
由（$\sqrt{x}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁵的通项公式为T_l+1=${C}_{5}^{l}$（$\sqrt{x}$）^5-l（-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）^l
=${C}_{5}^{l}$（-a）^lx${\;}^{\frac{5-2l}{2}}$，l=0，1，2，…，5
由题意可得$\frac{5-2l}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得l=1，
可得${C}_{6}^{1}$${C}_{5}^{1}$（-a）=15，解得a=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查二项式定理的运用：求指定项的系数，考查二项式展开式的通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．