Question

18．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=（$\frac{1}{2}$）^x．若存在x₀∈[$\frac{1}{2}$，1]，使得等式af（x₀）+g（2x₀）=0成立，则实数a的取值范围是[2$\sqrt{2}$，$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 先根据函数奇偶性定义，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将等式af（x）+g（2x）=0，令t=2^x-2^-x，则t＞0，通过变形可得a=t+$\frac{2}{t}$，讨论出右边在x∈[$\frac{1}{2}$，1]的最大值，可以得出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^-x，结合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^x，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x），g（x）=$\frac{1}{2}（$2^x+2^-x）
等式af（x）+g（2x）=0，化简为-$\frac{a}{2}$（2^x-2^-x）+$\frac{1}{2}$（2^2x+2^-2x）=0
∵$\frac{1}{2}$≤x≤1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤2^x-2^-x≤$\frac{3}{2}$
令t=2^x-2^-x，则t＞0，因此将上面等式整理，得：a=t+$\frac{2}{t}$
∵$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t≤$\frac{3}{2}$
∴2$\sqrt{2}$≤t+$\frac{2}{t}$≤$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$
∵存在x₀∈[$\frac{1}{2}$，1]，使得等式af（x₀）+g（2x₀）=0成立，
∴a∈[2$\sqrt{2}$，$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$]．
故答案为[2$\sqrt{2}$，$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$]．

点评 本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．