Question

已知数列{a_n}中，S_n是其前项和，若a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2且a_n+1a_n+2≠1，则a₁+a₂+a₃=

 

；S₂₀₁₁=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：a₁=1，a₂=2和后面的等式可知第三项是3，得到第一个结论，我们这样考虑，当第二、三项是2、3时，第四项又是1，当第三、四项是3、1时，第五项又是2，以此类推，可知数列是周期为3的数列，结果可得．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，
∴a₃=3，
∴a₁+a₂+a₃=6，
∵a₂=2，a₃=3，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，
∴a₄=1，
以此类推得到从第五项开始依次是2、3、1、2、3、1…
∴S₂₀₁₁=670×6+2=4022，
故答案为：6，4022．

点评：该题的解题思路是从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、猜想出一般规律，着重考查了归纳、概括和数学变换的能力．