Question

如果函数g（x）满足：对任意实数m，n均有g（mn+1）-g（m）g（n）=2-g（n）-m成立，那么称g（x）是“次线性”函数．若“次线性”函数f（x）满足f（0）=1，且两正数x，y使得点（x²-1，3-2xy）在f（x）的图象上，则log 

1

2

（x+y）-log₄x的最大值为

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：先令令m=n=0，求出g（1）=2，再化简log 

1

2

（x+y）-log₄x=-log2(x+y)

x

，求出（x+y）

x

的最小值即可．

解答： 解：令m=n=0，则g（1）-g（0）g（0）=2-g（0）-0成立，
∵函数f（x）满足f（0）=1，即g（0）=1
∴g（1）=2
∵log 

1

2

（x+y）-log₄x=-log2(x+y)

x

∴log 

1

2

（x+y）-log₄x的最大值，即（x+y）

x

取的最小值，
又∵两正数x，y使得点（x²-1，3-2xy）在f（x）的图象上，
当x²-1=0，3-2xy=1时，解x=y=1，（x+y）

x

=2
当x²-1=1，3-2xy=2时，解得x=

2

，y=

2

4

，（x+y）

x

=

5

2

∴log 

1

2

（x+y）-log₄x=-log2(x+y)

x

≥-log₂2=-1
故答案为：-1

点评：本题考查了不等式的应用和对数函数的性质，属于中档题．