Question

15．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π），cosβ=-$\frac{1}{3}$，sin（α+β）=$\frac{7}{9}$．
（1）求tan$\frac{β}{2}$的值；
（2）求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式用tan$\frac{β}{2}$表示出cosβ，求出$\frac{β}{2}$的范围，解方程得出；
（2）根据α，β的范围求出sinβ，cos（α+β），利用差角的正弦函数公式计算．

解答 解：（1）∵$cosβ={cos^2}\frac{β}{2}-{sin^2}\frac{β}{2}=\frac{{{{cos}^2}\frac{β}{2}-{{sin}^2}\frac{β}{2}}}{{{{cos}^2}\frac{β}{2}+{{sin}^2}\frac{β}{2}}}=\frac{{1-{{tan}^2}\frac{β}{2}}}{{1+{{tan}^2}\frac{β}{2}}}$，且$cosβ=-\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{1-{{tan}^2}\frac{β}{2}}}{{1+{{tan}^2}\frac{β}{2}}}=-\frac{1}{3}$，解得${tan^2}\frac{β}{2}=2$，
∵$β∈（{\;\frac{π}{2}，\;\;π}）$，∴$\frac{β}{2}∈（{\;\frac{π}{4}，\;\;\frac{π}{2}}）$，
∴$tan\frac{β}{2}＞0$，
∴$tan\frac{β}{2}=\sqrt{2}$．
（2）∵$β∈（{\;\frac{π}{2}，\;\;π}）$，$cosβ=-\frac{1}{3}$，
∴$sinβ=\sqrt{1-{{cos}^2}β}=\sqrt{1-{{（{-\frac{1}{3}}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
又$α∈（{0\;，\;\;\frac{π}{2}}）$，故$α+β∈（{\frac{π}{2}\;，\;\;\frac{3π}{2}}）$，
∴$cos（{α+β}）=-\sqrt{1-{{sin}^2}（{α+β}）}=-\sqrt{1-{{（{\frac{7}{9}}）}^2}}=-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$，
∴sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=$\frac{7}{9}×（{-\frac{1}{3}}）$$-（{-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}}）×\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换和化简求值，属于中档题．