Question

四棱锥的底面是正方形，侧棱与底面所成的角都等于60°，它的所有顶点都在直径为2的球面上，则该四棱锥的体积等于

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：设正方形ABCD的边长为a，由题意得BD=AC=PA=PB=PC=PD=

2

a，设O为球心，由题意知OP=OB=1，BE=

2

2

a，PE=

6

2

a，由勾股定理求出a=

6

2

，由此能求出该四棱锥的体积．

解答： 解：如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，
侧棱与底面所成的角都等于60°，
设正方形ABCD的边长为a，
则BD=AC=PA=PB=PC=PD=

2

a，
设O为球心，由题意知OP=OB=1，BE=

2

2

a，
PE=

2a2-( 2 2 a)2

=

6

2

a，
∴（

2

2

a）²+（

6

2

a-1）²=1，解得a=

6

2

，
∴PE=

6

2

×

6

2

=

3

2

，
∴该四棱锥的体积V=

1

3

×S正方形ABCD×PE=

1

3

×(

6

2

)2×

3

2

=

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：本题考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是中档题．