Question

10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式$\frac{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}{2}$＜f（1）的解集为（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （0，e）
• C． （$\frac{1}{e}$，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 由f（x）为定义在R上的奇函数便可得到$f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）=2f（lnx）$，从而由原不等式可得到|f（lnx）|＜f（1），进一步便得到f（-1）＜f（lnx）＜f（1），可以说明f（x）在R上单调递增，从而便得到-1＜lnx＜1，这样便可得出原不等式的解集．

解答 解：f（x）为定义在R上的奇函数；
∴$f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）=f（lnx）+f（-ln\frac{1}{x}）$=f（lnx）+f（lnx）=2f（lnx）；
∴由$\frac{|f（lnx）-f（ln\frac{1}{x}）|}{2}＜f（1）$得，|f（lnx）|＜f（1）；
∴-f（1）＜f（lnx）＜f（1）；
即f（-1）＜f（lnx）＜f（1）；
又f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（-∞，0]上为增函数；
∴f（x）在R上为增函数；
∴-1＜lnx＜1；
∴$\frac{1}{e}＜x＜e$；
∴原不等式的解集为$（\frac{1}{e}，e）$．
故选：C．

点评 考查奇函数的定义，对数的运算性质，以及绝对值不等式的解法，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及增函数的定义，对数函数的单调性．