Question

（本题满分16分）已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 相切．

（1）求圆的标准方程；

（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点.

Answer 1

【解析】

试题分析：（1）设圆心为由圆与直线 相切，根据圆心到直线的距离等于半径求出；（2）由圆与直线相交，则圆心与直线的距离小于半径；（3）若存在，设的方程为，即，又因为弦的垂直平分线必过圆心，把圆心坐标代入直线方程求出实数，检验此时直线与圆相交于两点.

试题解析：（1）设圆心为

由于圆与直线相切，且半径为5，

所以

即，

解得

因为为整数，故，

故所求的圆的方程是 （5分）

（2） 此时，圆心与该直线的距离

即： （10分）

（2）设符合条件的实数存在，

，则直线的斜率为，的方程为，即．

由于垂直平分弦，故圆心必在上．

所以解得．

经检验，直线与圆有两个交点， （14分）

故存在实数，使得过点的直线垂直平分弦 （16分）

考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.