Question

函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0，则当1≤x≤4时，

y

x

的取值范围为（　　）

• A、[12，+∞）
• B、[0，3]
• C、[1-

  2

  ，1+

  2

  ]
• D、（-∞，1-

  2

  ]∪[1+

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合

分析：根据函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，可知函数是奇函数，再利用在R上的减函数，转化为具体的不等式，故可解．

解答： 解：根据函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，
可知函数f（x）是奇函数，
∴由f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0，得f（x²-2x）≥-f（-2y+y²）=f（2y-y²），
∵在R上的减函数y=f（x），
∴x²-2x≤2y-y²，
即（x-1）²+（y-1）²≤2，
又∵1≤x≤4，
平面区域如图所示．

由图求得A（1，1-

2

），B（1，1+

2

）．
∴

y

x

的取值范围为[1-

2

，1+

2

]．
故选：C．

点评：本题综合考查了函数的对称性、单调性、线性规划的可行域及其最值、数形结合的解题思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．