Question

11．已知数列{a_n}为等差数列，a₃=5，a₄=2a₂+a₁．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（i）求T_n；
（ii）若T₁，T_m，T_n成等比数列，m＞1，求正整数m，n的值．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₃=5，a₄=2a₂+a₁，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+3d=2（{a}_{1}+d）+{a}_{1}}\end{array}\right.$，解得即可得出．
（2）（i）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．
（ii）由于T₁，T_m，T_n成等比数列，m＞1，可得${T}_{m}^{2}$=T₁•T_n，化为：$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，化为2m²-4m-1＜0，解出即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=5，a₄=2a₂+a₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=5}\\{{a}_{1}+3d=2（{a}_{1}+d）+{a}_{1}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）（i）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
（ii）∵T₁，T_m，T_n成等比数列，m＞1，
∴${T}_{m}^{2}$=T₁•T_n，
∴$（\frac{m}{2m+1}）^{2}$=$\frac{1}{3}×$$\frac{n}{2n+1}$，
化为：$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$＞0，
化为2m²-4m-1＜0，
解得：$1-\frac{\sqrt{6}}{2}＜m＜1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴正整数m=2，n=12．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．