Question

3．如图所示，已知AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BN的延长线交AD的延长线于点C，且BM=MN=NC，若AB=2，则该圆的直径AD的长为$\frac{5}{7}\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 由已知中AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，由切割线定理，结合BM=MN=NC，AB=2，我们易求出BM的长，在直角三角形ABC中，我们利用勾股定理，易求出AC的长，再由割线定理，求出CD长后，即可得到⊙O的直径．

解答 解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，
∴∠BAC=90°，AB²=BM•BN．
∵BM=MN=NC，
∴2BM²=AB²，
∵AB=2，
∴BM=$\sqrt{2}$，
∵AB²+AC²=BC²，
∴4+AC²=18，∴AC=$\sqrt{14}$．
∵CN•CM=CD•CA，
∴$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$=CD•$\sqrt{14}$，
∴CD=$\frac{2}{7}$$\sqrt{14}$．
∴⊙O的直径为CA-CD=$\frac{5}{7}\sqrt{14}$．
故答案为：$\frac{5}{7}\sqrt{14}$．

点评 本题考查的知识点与圆有关的比例线段，其中分析已知的线段与未知线段的位置关系，选择恰当的定理构造线段间的数量关系式，是解答本题的关键．