Question

17．计算下列各式的值．
（1）$\frac{{tan{{53}°}+tan{7°}+tan{{120}°}}}{{tan{{53}°}•tan7{\;}°}}$；
（2）[2sin50°+sin10°（1+$\sqrt{3}tan{10°}$）]$\sqrt{1-cos{{160}°}}$．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的诱导公式及两角和的正切整理可得tan53°+tan7°+tan120°=$-\sqrt{3}tan53°tan7°$，代入即可得答案；
（2）化切为弦，利用二倍角余弦开方，再由两角和的正弦化简得答案．

解答 解：（1）∵tan120°=-tan60°=-tan（53°+7°）=-$\frac{tan53°+tan7°}{1-tan53°tan7°}$，
∴tan120°-tan120°tan53°tan7°=-（tan53°+tan7°），
则tan53°+tan7°+tan120°=$-\sqrt{3}tan53°tan7°$，
∴$\frac{{tan{{53}°}+tan{7°}+tan{{120}°}}}{{tan{{53}°}•tan7{\;}°}}$=$\frac{-\sqrt{3}tan53°tan7°}{tan53°tan7°}$=$-\sqrt{3}$；
（2）[2sin50°+sin10°（1+$\sqrt{3}tan{10°}$）]$\sqrt{1-cos{{160}°}}$
=[2sin50°+sin10°（1+$\frac{\sqrt{3}sin10°}{cos10°}$]•$\sqrt{2si{n}^{2}80°}$
=[2sin50°+sin10°•$\frac{\sqrt{3}sin10°+cos10°}{cos10°}$]•$\sqrt{2}cos10°$
=[2sin50°+sin10°•$\frac{2（\frac{\sqrt{3}}{2}sin10°+\frac{1}{2}cos10°）}{cos10°}$]•$\sqrt{2}cos10°$
=（2sin50°+sin10°•$\frac{2sin40°}{cos10°}$）•$\sqrt{2}cos10°$
=2$\frac{sin50°cos10°+cos50°sin10°}{cos10°}$$•\sqrt{2}cos10°$
=2$\sqrt{2}$sin60°
=$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，两角和公式，同角三角函数基本关系的应用，属基础题．