Question

【题目】已知函数，其中为常数且.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，，若存在，使成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）,当时,在上单调递减,在上单调递增;

当时,在上单调递增，在上单调递减；（3）.

【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，再利用导数的几何意义，求出切线的斜率，最后写出直线的点斜式方程，化简即可. (2)第(2)问，对m分类讨论，求出函数的单调性.(3)第(3)问，由题得，再求出代入化简即得m的取值范围.

试题解析：

(1)当时，，

=

切线的斜率，又，

故切线的方程为，

即.

（2）且,

()当时,,

当时,;当时,.

故在区间上单调递减,在区间上单调递增；

()当，有两个实数根，

且,故时,；

时，

时,.

故在区间上均为单调增函数,

在区间上为减函数.

综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;

当时,在、上单调递增，在上单调递减.

（3）当时，由（2）知，

又

，

在上为增函数.

.

依题意有

故的取值范围为.