Question

11．设二次函数y=f（x）的最小值为-2，且满足f（3）=f（-1）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（2t²-4t+3）＞f（t²+t+3）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的对称轴，设出函数的表达式，由待定系数法求出函数的解析式即可；
（2）根据函数的单调性结合2t²-4t+3和t²+t+3的范围得到关于t的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵f（3）=f（-1）=2，
∴函数的对称轴x=1，
由题意不妨设函数的表达式为：
f（x）=a（x-1）²-2，将（3，2）代入表达式得：
2=a（3-1）²-2，解得：a=1，
故f（x）=x²-2x-1；
（2）由（1）f（x）=x²-2x-1，对称轴x=1，f（x）在（1，+∞）递增，
而2t²-4t+3=2（t-1）²+1≥1，t²+t+3=${（t+\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{11}{3}$＞1，
f（2t²-4t+3）＞f（t²+t+3），
∴2t²-4t+3＞t²+t+3，解得：t＞5或t＜0．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．