Question

已知函数，其中N*，aR，e是自然对数的底数．
(1)求函数的零点；
(2)若对任意N*，均有两个极值点，一个在区间(1，4)内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围；
(3)已知k，mN*，k<m，且函数在R上是单调函数，探究函数的单调性．

Answer 1

（1）①当时，函数有一个零点： 
②当时，函数有两个零点： 
③当时，函数有两个零点：
④当时，函数有三个零点：
 
（2）的取值范围是 
（3）函数在上是减函数.

解析试题分析：（1）整理得，
故只需讨论的判别式取值情况，确定函数的零点.
（2）由于
所以重点讨论，的图像是开口向下的抛物线.
由题意对任意,即，讨论求解.
（3）由(2)知, 存在，又函数在上是单调函数，故函数在上是单调减函数.
试题解析：（1），
设,
①当时，函数有一个零点：         1分
②当时，函数有两个零点：     2分
③当时，函数有两个零点：     3分
④当时，函数有三个零点：
                4分
（2）  5分
设，的图像是开口向下的抛物线.
由题意对任意有两个不等实数根，
且
则对任意,即,                     7分
又任意关于递增,,
故
所以的取值范围是                       9分
（3）由(2)知, 存在，又函数在上是单调函数，故函数在上是单调减函数,          10分
从而即   11分
所以
由知                    13分
即对任意