已知函数,其中m,a均为实数.
(1)求的极值;
(2)设,若对任意的
,
恒成立,求
的最小值;
(3)设,若对任意给定的
,在区间
上总存在
,使得
成立,求
的取值范围.
(1)极大值为1,无极小值.(2)3 -.(3)
.
解析试题分析:(1)求函数极值,先明确定义域为再求其导数为
.由
,得x = 1.分析导数在定义区间符号正负,确定函数先增后减,所以y =
有极大值为1,无极小值.(2)不等式恒成立问题,先化简不等式
.化简不等式的难点有两个,一是绝对值,二是两个参量
可从函数单调性去绝对值,分析两个函数,一是
,二是
.利用导数可知两者都是增函数,故原不等式等价于
,变量分离调整为
,这又等价转化为函数
在区间
上为减函数,即
在
上恒成立.继续变量分离得
恒成立,即
.最后只需求函数
在
上最大值,就为
的最小值.(3)本题含义为:对于函数
在
上值域中每一个值,函数
在
上总有两个不同自变量与之对应相等.首先求出函数
在
上值域
,然后根据函数
在
上必须不为单调函数且每段单调区间对应的值域都需包含
.由
在
不单调得
,由每段单调区间对应的值域都需包含
得
,
.
试题解析:(1),令
,得x = 1. 1分
列表如下:x (-∞,1) 1 (1,+∞) + 0 - g(x) ↗ 极大值 ↘
∵g(1) = 1,∴y =的极大值为1,无极小值. 3分
(2)当
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,其中
N*,a
R,e是自然对数的底数.
(1)求函数的零点;
(2)若对任意N*,
均有两个极值点,一个在区间(1,4)内,另一个在区间[1,4]外,求a的取值范围;
(3)已知k,mN*,k<m,且函数
在R上是单调函数,探究函数
的单调性.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数f(x)=x2-(a-2)x-alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有两个零点,求满足条件的最小正整数a的值;
(3)若方程f(x)=c有两个不相等的实数根x1、x2,求证:f′>0.
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