Question

已知函数，函数是区间上的减函数.
（1）求的最大值；
（2）若恒成立，求的取值范围；
(3）讨论关于的方程的根的个数．

Answer 1

（1）的最大值为（2）.（3）当方程无解；
当时，方程有一个根；当时，方程有两个根.

解析试题分析：（1）由题意由于，所以函数，又因为该函数是在区间上的减函数，所以可以得到的范围；
（2）由对所有满足条件的实数及对任意，在上恒成立 解出即可；
（3）利用方程与函数的关系可以构造成两函数图形的交点个数加以分析求解．
试题解析：（1），
上单调递减，

在[-1，1]上恒成立，，故的最大值为
（2）由题意

（其中），恒成立，
令，
若，则有恒成立，
若，则，
恒成立，
综上，
（3）由
令

当上为增函数；
当时，为减函数；
当而
方程无解；
当时，方程有一个根；
当时，方程有两个根.
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．