Question

如图，四棱锥中，面面，底面是直角梯形，侧面是等腰直角三角形．且∥，，，．

（1）判断与的位置关系；
（2）求三棱锥的体积；
（3）若点是线段上一点，当//平面时，求的长.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

试题分析：本题以四棱锥为几何背景考查线线垂直、线面垂直、线面平行、线线平行的判定，在解题过程中还遇到了等腰直角三角形和直角梯形以及相似三角形等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.第一问，取中点，连结，因为是等腰直角三角形，所以，因为是直角梯形且，所以四边形为正方形，所以，所以平面，所以；第二问，先利用面面垂直，可得到线面垂直，得到锥体的高，用等体积法将转化为,再利用体积公式求值；第三问，先在面内找到线，这是由于// 平面，再利用相似三角形，得到边长的关系，所以，所以.
试题解析：（1）证明：取中点，连结，．
因为，所以．
因为四边形为直角梯形，，，
所以四边形为正方形，所以．
所以平面．    所以 ．             4分
（2）由，面面易得
所以，       8分
（3）解：连接交于点，面面.
因为//平面，所以//．
在梯形中，有与相似，
可得
所以，               12分