Question

6．若$|{\overrightarrow a}|=2，\overrightarrow b=（{\sqrt{2}，\sqrt{2}}），\overrightarrow a•（{\overrightarrow b-\overrightarrow a}）+2=0$，则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 设向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4cosθ，再根据向量的数量积即可求出

解答 解：设向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2×2×cosθ=4cosθ，
∵$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）+2=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$|²+2=0，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了向量的数量积的运算和向量的模因向量的夹角，属于基础题