Question

2．已知直线l：y=mx+m（|m|＜1．m≠0），抛物线C：y²=4x
（1）求证：l与抛物线C必相交于两点
（2）求截得的弦AB的长
（3）当m为何值时，弦AB的中点在直线x-y-3=0上．

Answer 1

分析 （1）直线l：y=mx+m（|m|＜1．m≠0），抛物线C：y²=4x联立，证明△＞0，即可证明l与抛物线C必相交于两点
（2）利用韦达定理及弦长公式，即可求截得的弦AB的长
（3）求出弦AB的中点，代入直线x-y-3=0，即可得出结论．

解答 （1）证明：直线l：y=mx+m（|m|＜1．m≠0），抛物线C：y²=4x联立可得m²x²+（2m²-4）+m²=0
∴△=（2m²-4）²-4m⁴=16（1-m²）＞0，
∴l与抛物线C必相交于两点
（2）解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2+$\frac{4}{{m}^{2}}$，x₁x₂=1
∴截得的弦AB的长=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（-1+\frac{4}{{m}^{2}}）^{2}-4}$=$\frac{\sqrt{（1+{m}^{2}）（16-8{m}^{2}-3{m}^{4}）}}{{m}^{2}}$
（3）解：弦AB的中点（-1+$\frac{2}{{m}^{2}}$，$\frac{2}{m}$），
∵弦AB的中点在直线x-y-3=0上，
∴-1+$\frac{2}{{m}^{2}}$-$\frac{2}{m}$-3=0，
∴m=1或-$\frac{1}{2}$，
即m=1或-$\frac{1}{2}$时，弦AB的中点在直线x-y-3=0上．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．