Question

已知正项数列{a_n}中，对于一切的n∈N^*均有a≤a_n－a_n＋1成立．

(1)证明：数列{a_n}中的任意一项都小于1；

(2)探究a_n与的大小，并证明你的结论．

Answer 1

 (1)由a≤a_n－a_n＋1得a_n＋1≤a_n－a.

∵在数列{a_n}中a_n>0，∴a_n＋1>0，

∴a_n－a>0，∴0<a_n<1，

故数列{a_n}中的任何一项都小于1.

(2)解法1：由(1)知0<a_n<1＝，

那么a₂≤a₁－a＝－

由此猜想：a_n<.

下面用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N时猜想正确．

①当n＝2时，显然成立；

②假设当n＝k(k≥2，k∈N)时，有a_k<≤成立．

那么a_k＋1≤a_k－a＝－

∴当n＝k＋1时，猜想也正确．

综上所述，对于一切n∈N^*，都有a_n<.

解法2：由a≤a_n－a_n＋1，

得0<a_k＋1≤a_k－a＝a_k(1－a_k)，

令k＝1,2,3，…，n－1得：