Question

(本小题满分16分)
已知，其中是自然常数，
(1)讨论时, 的单调性、极值；
(2)求证：在（1）的条件下，；
(3)是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.

Answer 1

（1）的极小值为；
（2），当时，；
（3） 。

(I)当a=1时,f(x)的解析式确定,然后利用导数研究其单调性、极值即可.
(2)在(1)条件下,可确定出的最小值,然后再利用导数研究的最大值即可.只需证明即可.
(3)先假设存在实数，使有最小值3，,
然后求出f(x)的导数,利用其导数研究其最小值,根据最小值等于3,求a,看a值是否存在.
（1）   ------------2分
当时，，此时为单调递减
当时，，此时为单调递增
的极小值为--------------------------4分
（2）的极小值，即在的最小值为1
   令
又    ------------------------6分
当时
在上单调递减
 ---------------7分
当时，------------------------------8分
（3）假设存在实数，使有最小值3，

①当时，由于，则
函数是上的增函数

解得（舍去） ---------------------------------12分
②当时，则当时，
此时是减函数
当时，，此时是增函数

解得 ---------------------------------16分