(本题满分12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆点,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PB交随圆C于另一点E,证明直线AE与x轴相交于定点Q.
(Ⅰ)="1." (Ⅱ)直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)。
解析试题分析:(1)根据椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为得到a,c的比值,以原点为圆点,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。那么利用线与圆相切,利用点到直线的距离公式得到圆的半径。求解得到结论。
(2)由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为y=k(x-4).与椭圆方程联立,然后结合韦达定理,得到k的表达式,进而得到交点定点的坐标。
解:(Ⅰ)由题意知e==,所以e2===.即a2=b2.
又因为b==,所以a2=4,b2=3.故椭圆的方程为=1.…4分
(Ⅱ)由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为y=k(x-4).
由,得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0. ①…6分
设点B(x1,y1),E(x2,y2),则A(x1,-y1).直线AE的方程为y-y2=(x-x2).令y=0,得x=x2-.将y1=k(x1-4),y2=k(x2-4)代入,
整理,得x=. ②…8分
由①得x1+x2=,x1x2=…10分 代入②整理,得x=1.
所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0).……12分
考点:本题主要考查直线与椭圆的位置关系的运用。
点评:解决该试题的关键是熟练的运用椭圆的几何性质得到其椭圆的方程,以及联立方程组的思想,结合韦达定理得到k的值,求解得到定点。
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(本小题满分16分)
椭圆:的左、右顶点分别、,椭圆过点且离心率.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上异于、两点的任意一点作轴,为垂足,延长到点,且,过点作直线轴,连结并延长交直线于点,线段的中点记为点.
①求点所在曲线的方程;
②试判断直线与以为直径的圆的位置关系, 并证明.
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(本小题满分10分)河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶5时,水面宽为8,一小船宽4,高2,载货后船露出水面上的部分高,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船恰好能通行。
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已知椭圆G:的右焦点F为,G上的点到点F的最大距离为,斜率为1的直线与椭圆G交与、两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2)
(1)求椭圆G的方程;
(2)求的面积。
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(本小题13分)曲线上任意一点M满足, 其中F(-F( 抛物线的焦点是直线y=x-1与x轴的交点, 顶点为原点O.
(1)求,的标准方程;
(2)请问是否存在直线满足条件:①过的焦点;②与交于不同
两点,,且满足?若存在,求出直线的方程;若不
存在,说明理由.
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点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆C上,且位于x轴上方,
(1)求椭圆C的的方程;
(2)求点P的坐标;
(3)设M是椭圆长轴AB上的一点,点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到M的距离d的最小值。
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(Ⅰ)已知双曲线C与双曲线有相同的渐近线,且一条准线为,求双曲线C的方程;
(Ⅱ)已知圆截轴所得弦长为6,圆心在直线上,并与轴相切,求该圆的方程.
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(12分) 如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且MD=PD.
(Ⅰ)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.
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