Question

已知函数f（x）=ln（x-1）+

2a

x

（a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m，n是正数，且m≠n，求证：

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，对a分情况讨论，（1）当0≤a≤2时，（2）当a＜0或a＞2时，求出导数为0的根，即可得到单调区间；
（Ⅱ）把所证的式子利用对数的运算法则及不等式的基本性质变形，即要证ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，根据题意得到g（x）在x≥1时单调递增，且

m

n

＞1，利用函数的单调性可得证．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（1，+∞），f′(x)=

1

x-1

-

2a

x2

=

x2-2ax+2a

x2(x-1)

，
令h（x）=x²-2ax+2a，由题意得x²（x-1）＞0，则△=4a²-8a=4a（a-2），对称轴为x=a，
（1）当0≤a≤2时，h（x）≥0，即f′（x）≥0，f（x）在（1，+∞）上递增；
（2）当a＜0或a＞2时，h（x）=0的两根为x1=a-

a2-2a

，x2=a+

a2-2a

，
由h（1）=1-2a+2a=1＞0，a＞2，得1＜x₁＜x₂，
当x∈（x₁，x₂）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（1，x₁）∪（x₂，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）递增，
所以f（x）的递增区间为(1，a-

a2-2a

)，(a+

a2-2a

，+∞)，
减区间为(a-

a2-2a

，a+

a2-2a

)．
a＜0时，对称轴在y轴左边，那么一根必然为负值，虽然有一根大于零，但由于此时h（1）=1-2a+2a=1＞0，也就是在对称轴与1之间产生了一个零点，而函数定义域为（1，+∞），所以此时原函数在（1，+∞）恒为增函数．
（Ⅱ）要证

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

，只需证

m n -1

ln m n

＜

m n +1

2

，
即ln

m

n

＞

2( m n -1)

m n +1

，即ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，
设g(x)=lnx-

2(x-1)

x+1

，
由题知g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又

m

n

＞1，所以g(

m

n

)＞g(1)=0，
即ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0成立，得到

m-n

lnm-lnn

＜

m+n

2

．

点评：本题考查利用导数求函数的单调区间，考查不等式的证明，正确利用函数的单调性是关键．