Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+

2

x+1

+ax-2（其中a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若x∈[0，2]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先由函数的解析式求出定义域，再利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值．
（2）分a=1、a＞1、0＜a＜1三种情况，分别检验条件是否成立，从而得出a的范围．

解答： 解：（1）由函数f（x）=ln（x+1）+

2

x+1

+ax-2（其中a＞0），可得x+1＞0，即x＞-1，故f（x）的定义域为（-1，+∞）．
当a=1时，f(x)=ln(x+1)+

2

x+1

+x-2，
令f′(x)=

1

x+1

-

2

(x+1)2

+1=

x(x+3)

(x+1)2

=0，求得x=0，
且f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴此时f（x）的最小值为f（0）=0．
（2）由（1）知当a=1时，f（x）≥0恒成立，即ln(x+1)+

2

x+1

+x-2≥0恒成立；
所以当a＞1，x∈[0，2]时，f(x)=ln(x+1)+

2

x+1

+ax-2≥ln(x+1)+

2

x+1

+x-2≥0，满足条件，
故a≥1符合要求．
当0＜a＜1时，f′(x)=

1

x+1

-

2

(x+1)2

+a=

ax2+(2a+1)x+a-1

(x+1)2

，
由于方程ax²+（2a+1）x+a-1=0的△=8a+1＞0，所以该方程有两个不等实根x₁，x₂，且x₁＜x₂．
由x1x2=

a-1

a

＜0知，x₁＜0＜x₂ ，∴f（x）在（0，x₂）上单调递减．
若0＜x₂＜2，则f（x₂）＜f（0）=0，矛盾；
若x₂≥2，则f（2）＜f（0）=0，也与条件矛盾．
综上可知，a的取值范围为[1，+∞）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的极值，函数的恒成立问题，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．