Question

已知数列{a_n}得首项为a₁=2，前n项和为S_n，且满足S_n=

n2

n2-1

S_n-1+

n

n+1

（n≥2）
（1）证明数列（

n+1

n

S_n）是等差数列，并求数列{a_n}得通项公式；
（2）设b_n=

an

4n2-4n+3

．记数列{b_n}得前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

1+1

1

S1=2a₁=4，

n+1

n

S_n=

n+1

n

×

n2

n2-1

S_n-1+

n

n+1

×

n+1

n

=

n

n-1

Sn-1+1，由此能证明数列{

n+1

n

S_n}是以4为首项，1为公差的等差数列，从而S_n=

(4n-3)(n+1)

n

，进而能求出a_n=

2，n=1 4n2-4n+3 n2-n ，n≥2

．
（2）n=1时，b₁=

2

4-4+3

=

2

3

，n≥2时，b_n=

1

n2-n

=

1

n-1

-

1

n

，由此利用裂项求和法能证明T_n＜1．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}得首项为a₁=2，前n项和为S_n，且满足S_n=

n2

n2-1

S_n-1+

n

n+1

（n≥2）
∴n=1时，

1+1

1

S1=2a₁=4，

n+1

n

S_n=

n+1

n

×

n2

n2-1

S_n-1+

n

n+1

×

n+1

n

=

n

n-1

Sn-1+1，
∴

n+1

n

S_n-

n

n-1

Sn-1=1，
∴数列{

n+1

n

S_n}是以4为首项，1为公差的等差数列，
∴

n

n+1

Sn=4+（n-1）×1=4n-3，
∴S_n=

(4n-3)(n+1)

n

，
∴n=1时，a₁=S₁=

(4-3)(1+1)

1

=2，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

(4n-3)(n+1)

n

-

(4n-7)n

n-1

=

4n2-4n+3

n2-n

．
n=1时，不成立，∴a_n=

2，n=1 4n2-4n+3 n2-n ，n≥2

．
（2）证明：∵b_n=

an

4n2-4n+3

，∴n=1时，b₁=

2

4-4+3

=

2

3

，
n≥2时，b_n=

1

n2-n

=

1

n-1

-

1

n

，
∴n=1时，T₁=b₁=

2

3

＜1，
n≥2时，T_n=1-

1

2

+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1，
综上，T_n＜1．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．