Question

（Ⅰ）证明：函数f（x）=x+

4

x

在（0，2]上是减函数；
（Ⅱ）已知函数f（x）=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞）上是增函数．
设常数a∈（1，9），求函数f（x）=x+

a

x

在x∈[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用单调递增函数的定义按步骤证明即可；
（2）要研究函数的最值，需结合函数的单调性，此题应通过讨论x=

a

与区间[1，3]的关系，确定出函数在[1，3]上的单调性，然后求出最值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：设x₁，x₂是（0，2]内的任意两个不相等的实数，且x₁＜x₂，则△x=x₂-x₁＞0，

△y=f(x2)-f(x1)=x2+ 4 x2 -(x1+ 4 x1 )=(x2-x1)+( 4 x2 - 4 x1 ) =(x2-x1)+ 4(x1-x2) x2x1 =(x2-x1)(1- 4 x2x1 )=△x• (x1x2-4) x2x1

∵0＜x₁＜x₂≤2，∴0＜x₁x₂＜4，∴x₁x₂-4＜0，∴△y＜0．
因此，函数f(x)=x+

4

x

在（0，2]是减函数．
（Ⅱ）∵a∈（1，9），∴1＜

a

＜3
所以，函数f(x)=x+

a

x

在[1，

a

]上是减函数，在[

a

，3]上是增函数．∴当x=

a

时，函数f（x）有最小值2

a

； 
又f(1)=1+a，f(3)=3+

a

3

，
最大值进行如下分类讨论：
（ⅰ）当f（1）≥f（3）时，即3≤a＜9时，当x=1时，函数f（x）有最大值1+a；
（ⅱ）当f（1）＜f（3）时，即1＜a＜3时，当x=3时，函数f（x）有最大值3+

a

3

．

点评：证明函数的单调性一般利用定义证明，要注意作差时对符号的判断方法；
第二问考查了分类讨论思想在解题中的作用，要注意结合二次函数“轴变区间定”求最值的求法来理解本题解法．