Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是上底面A₁B₁C₁D₁的中心，点Q在线段PD上运动，则异面直线BQ与A₁D₁所成角θ最大时，cosθ=

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,向量法,空间位置关系与距离,空间角

分析：设正方体的边长为2，以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出D、B、P、A₁、D₁的坐标，设Q（m，m，2m），（0≤m≤1），并求向量BQ与A₁D₁的坐标，运用向量的夹角公式计算，即可得到所求．

解答： 解：设正方体的边长为2，以D为坐标原点，
DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（2，2，0），P（1，1，2），A₁（2，0，2），
D₁（0，0，2），
设Q（m，m，2m），（0≤m≤1），
则

A1D1

=（-2，0，0），

BQ

=（m-2，m-2，2m），
则cosθ=

A1D1 • BQ

| A1D1 |•| BQ |

=

2(2-m)

2 4m2+2(m-2)2

=

1

2+4( m 2-m )2

，
当m=0时，

m

2-m

=0；当0＜m≤1时，

m

2-m

=

1

2 m -1

∈（0，1]，
即有2+4（

m

2-m

）²∈[2，6]，
则cosθ∈[

6

6

，

2

2

]．
当异面直线BQ与A₁D₁所成角θ最大时，cosθ最小，且为

6

6

．
故答案为：

6

6

．

点评：本题考查空间异面直线所成的角的求法，考查向量法的运用，考查向量的夹角公式，考查运算能力，属于中档题．