Question

求证：

1+sinx

cosx

=tan（

π

4

+

x

2

）

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：证明题,三角函数的求值

分析：由等式的左边开始，运用二倍角的正弦和余弦公式，完全平方公式和平方差公式，结合同角的商数关系，再由两角和的正切公式，即可得到等式的右边．

解答： 证明：

1+sinx

cosx

=

sin2 x 2 +cos2 x 2 +2sin x 2 cos x 2

cos2 x 2 -sin2 x 2

=

(sin x 2 +cos x 2 )2

(cos x 2 -sin x 2 )(cos x 2 +sin x 2 )

=

cos x 2 +sin x 2

cos x 2 -sin x 2

=

1+tan x 2

1-tan x 2

=

tan π 4 +tan x 2

1-tan π 4 tan x 2

=tan（

π

4

+

x

2

），
即有

1+sinx

cosx

=tan（

π

4

+

x

2

）．

点评：本题考查三角函数的证明，考查二倍角的正弦和余弦公式，考查同角的商数关系和两角和的正切公式，考查运算能力，属于中档题．