Question

过点P（2，1）的直线l与x轴、y轴正方向交于点A、B，分别根据以下条件求直线l的方程：
（1）直线l与x轴、y轴围成等腰三角形；
（2）点P是AB的中点；
（3）S_△AOB=6（O为坐标原点）；
（4）|OA|+|OB|最小（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：待定系数法求直线方程

专题：直线与圆

分析：设A（a，0），B（0，b）．
（1）由直线l与x轴、y轴围成等腰三角形，则a=b，设直线l的方程为x+y=a，代入P点坐标求得a的值，则直线l的方程可求；
（2）由中点坐标公式列式求得a，b的值代入直线方程的截距式得答案；
（3）设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，由

2 a + 1 b =1 1 2 ab=6

解得a，b的值，则直线方程可求；
（4）由

2

a

+

1

b

=1，a＞0，b＞0，得a+b=（a+b）（

2

a

+

1

b

）展开后利用基本不等式求最值，并得到使a+b最小时的a，b的值，则直线l的方程可求．

解答： 解：如图，

设A（a，0），B（0，b），
（1）直线l与x轴、y轴围成等腰三角形，则a=b，设直线l的方程为x+y=a，
则2+1=a，a=3，
∴直线l的方程为x+y-3=0；
（2）点P是AB的中点，则

a+0 2 =2 b+0 2 =1

，解得a=4，b=2．
∴直线l的方程为

x

4

+

y

2

=1，即x+2y-4=0；
（3）设直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，
则

2 a + 1 b =1 1 2 ab=6

，解得

a=6+2 3 b=3- 3

或

a=6-2 3 b=3+ 3

．
∴直线l的方程为

x

6+2 3

+

y

3- 3

=1或

x

6-2 3

+

y

3+ 3

=1；
（4）由

2

a

+

1

b

=1，a＞0，b＞0，
∴a+b=（a+b）（

2

a

+

1

b

）=3+

2b

a

+

a

b

≥3+2

2b a • a b

=3+2

2

．
当且仅当

2b

a

=

a

b

，即a=

2

b，也就是a=2+

2

，b=

2

+1时上式等号成立．
此时直线l的方程为

x

2+ 2

+

y

2 +1

=1．

点评：本题考查了待定系数法求直线的方程，考查了直线方程的截距式，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．