Question

已知8个非零实数a₁，a₂，a₃，…，a₈，向量

OA1

=(a1，a2)，

OA2

=（a₃，a₄），

OA3

=（a₅，a₆），

OA4

=（a₇，a₈），对于下列命题：
①a₁，a₂，a₃，…，a₈为等差数列，则存在i，j（1≤i，j≤8，i≠j，i，j∈N^*），使

4

k=1

OAk

与向量

n

=(ai，aj)共线；
②若a₁，a₂，a₃，…，a₈为公差不为0的等差数列，

n

=(ai，aj)（i≠j，i，j∈N^*，1≤i，j≤8），

q

=(1，1)，M={y|y=

n

•

q

}，则集合M中元素有13个；
③若a₁，a₂，a₃，…，a₈为等比数列，则对任意i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），都有

OAi

∥

OAj

；
④若a₁，a₂，a₃，…，a₈为等比数列，则存在i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），使

OAi

•

OAj

＜0；
⑤若

m

=

OAi

•

OAj

（i≠j，1≤i，j≤4，i，j∈N^*），则

m

的值中至少有一个不小于0．
上述命题正确的是

 

（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：等差数列的性质,等比数列的性质,平面向量数量积的运算

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：利用定义，结合数量积运算，即可得出结论．

解答： 解：①

4

k=1

OAk

=（a₁+a₃+a₅+a₇，a₂+a₄+a₆+a₈）=4（a₄，a₅），即

4

k=1

OAk

与向量（a₄，a₅）共线，正确；
②∵

q

=(1，1)，M={y|y=

n

•

q

}，∴y=a_i+a_j，
不妨设a₁，a₂，a₃，…，a₈为1，2，3，4，5，6，7，8，则a_i+a_j为3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，即集合M中元素有13个，正确；
③若a₁，a₂，a₃，…，a₈为等比数列，由于

OA1

=(a1，a2)，

OA2

=（a₃，a₄），

OA3

=（a₅，a₆），

OA4

=（a₇，a₈），所以横、纵坐标都成等比数列，所以都有

OAi

∥

OAj

，正确；
④若a₁，a₂，a₃，…，a₈为等比数列，利用等比数列的性质，可得不存在i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），使

OAi

•

OAj

＜0；
⑤由8个非零实数a₁，a₂，a₃，…，a₈，其中两个的积的和可以都小于0，故不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查等差数列、等比数列的性质，考查数量积运算，属于中档题．