Question

已知函数f（x）=e^xsinx
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，f（x）≥kx，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=

2

e^xsin(x+

π

4

)，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出单调区间；
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，令h（x）=e^x（sinx+cosx），利用导数研究函数h（x）的单调性可得：在[0，

π

2

]上单调递增，1≤h(x)≤e

π

2

，对k分类讨论，即可得出函数g（x）的单调性，进而得出k的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=

2

e^xsin(x+

π

4

)，
当x∈(2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

)时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
x∈(2kπ+

3π

4

，2kπ+

7π

4

)，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），h′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx．
∵x∈[0，

π

2

]，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，

π

2

]上单调递增，1≤h(x)≤e

π

2

，
当k≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，

π

2

]上单调递增，g（x）≥g（0）=0，符合题意；
当k≥e

π

2

时，g′（x）≤0，g（x）在[0，

π

2

]上单调递减，g（x）≤g（0），与题意不合；
当1＜k＜e

π

2

时，g′（x）为一个单调递增的函数，而g′（0）=1-k＜0，g′(

π

2

)=e

π

2

-k＞0，
由零点存在性定理，必存在一个零点x₀，使得g′（x₀）=0，
当x∈[0，x₀）时，g′（x）≤0，从而g（x）在此区间上单调递减，从而g（x）≤g（0）=0，与题意不合，
综上所述：k的取值范围为（-∞，1]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．