Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上两点，有下列三个不等式①a²+b²≥（x+y）²；②

1

x2

+

1

y2

≥（

1

a

+

1

b

）²③

xx′

a2

+

yy′

b2

≤1．其中不等式恒成立的序号是

 

．（填所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：依题意知，

x2

a2

+

y2

b2

=1，利用基本不等式及椭圆的有界性质对①②③三个不等式逐一分析判断即可．

解答： 解：由于 P（x，y）是椭圆 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的点，则

x2

a2

+

y2

b2

=1，
故①（a²+b²）=（a²+b²）（

x2

a2

+

y2

b2

）=x²+y²+

a2

b2

y²+

b2

a2

x²≥（x+y）²，故①正确；
②（

1

x2

+

1

y2

）=（

1

x2

+

1

y2

）（

x2

a2

+

y2

b2

）≥（

1

a

+

1

b

）²，故②也正确；
③由于Q（x′，y′）是椭圆 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的点．
令x=acosθ，y=bsinθ，x′=acosθ₁，y′=bsinθ₁，
则

xx′

a2

=

acosθ•acosθ1

a2

=cosθcosθ₁，
同理可得，

yy′

b2

=sinθsinθ₁，
∴

xx′

a2

+

yy′

b2

=cosθcosθ₁+sinθsinθ₁=cos（θ-θ₁）≤1，故③也正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查基本不等式及椭圆的有界性，考查等价转化思想与运算能力，属于中档题．