Question

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）≥f（x），对任意正数a，b，若a＜b，则必有（　　）

• A、af（a）≤bf（b）
• B、bf（a）＜af（b）
• C、af（a）＞bf（b）
• D、bf（a）≥af（b）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：构造函数g（x）=

f(x)

x

，求导，利用已知条件得到即g（x）是增函数，最后利用单调性比较自变量为a、b时函数值的大小即可变形得选项结果

解答： 解：令g（x）=

f(x)

x

，
∴g′（x）=

xf′(x)-f(x)

x2

，
∵xf′（x）≥f（x），
∴所以 g'（x）≥0 即g（x）是增函数，即当b＞a＞0时，g（a）＜g（b）
∴

f(b)

b

＞

f(a)

a

，
∴af（b）＞bf（a）．
故选：B．

点评：本题主要考查了导数的四则运算，利用导数证明函数的单调性，利用函数的单调性比较函数值的大小，构造一个恰当的函数是解决本题的关键