【题目】为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》,某校计划开设八门研学旅行课程,并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与,每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程).本次调查结果整理成条形图如下.
上图中,已知课程为人文类课程,课程为自然科学类课程.为进一步研究学生选课意向,结合上面图表,采取分层抽样方法从全校抽取的学生作为研究样本组(以下简称“组M”).
(Ⅰ)在“组M”中,选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少?
(Ⅱ)为参加某地举办的自然科学营活动,从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往,其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动,费用为每人1500元,选择课程G的同学参加,费用为每人2000元.
(ⅰ)设随机变量表示选出的4名同学中选择课程的人数,求随机变量的分布列;
(ⅱ)设随机变量表示选出的4名同学参加科学营的费用总和,求随机变量的期望.
【答案】(Ⅰ)12,8;(Ⅱ)(ⅰ) 见解析;(ⅱ)6500.
【解析】试题分析:(1)分层抽样即按比例抽样(2)根据题意在自然学科中抽4人即,然后设随机变量表示选出的4名同学中选择课程的人数故随机变量可取0,1,2.再根据超几何分布一一列式即可写出分布列再求期望(3)设随机变量表示选出的4名同学参加科学营的费用总和,则随机变量=6000+500所以E()=6000+500E()
试题解析:
(Ⅰ)选择人文类课程的人数为(100+200+400+200+300) 1%=12(人);
选择自然科学类课程的人数为(300+200+300) 1%=8(人).
(Ⅱ)(ⅰ)依题意,随机变量可取0,1,2.
; ;
故随机变量的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
p |
(ⅱ)法1:依题意,随机变量=2000+1500=6000+500,
所以随机变量的数学期望为
E()=6000+500E()=6000+500()=6500.
(ⅱ)法2:依题意,随机变量可取6000,6500,7000.
所以随机变量的分布列为
Y | 6000 | 6500 | 7000 |
p |
所以随机变量的数学期望为E()==6500.
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【题目】如图,在棱台中, 与分别是棱长为1与2的正三角形,平面平面,四边形为直角梯形, , , 为中点, (, ).
(1)设中点为, ,求证: 平面;
(2)若到平面的距离为,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】几个月前,成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车,这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题.然而,这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题,比如乱停乱放,或将共享单车占为“私有”等.
为此,某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人,他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表:
年龄 | ||||||
受访人数 | 5 | 6 | 15 | 9 | 10 | 5 |
支持发展 共享单车人数 | 4 | 5 | 12 | 9 | 7 | 3 |
(Ⅰ)由以上统计数据填写下面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为年龄与是否支持发展共享单车有关系;
年龄低于35岁 | 年龄不低于35岁 | 合计 | |
支持 | |||
不支持 | |||
合计 |
(Ⅱ)若对年龄在,的被调查人中各随机选取两人进行调查,记选中的4人中支持发展共享单车的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,两坐标系单位长度相同.已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数)。
(Ⅰ)将直线的参数方程化为普通方程,曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)设曲线上到直线的距离为的点的个数为,求的解析式.
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【题目】如图,三棱锥,侧棱,底面三角形为正三角形,边长为,顶点在平面上的射影为,有,且.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)线段上是否存在点使得⊥平面,如果存在,求的值;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知动点到点和直线l: 的距离相等.
(Ⅰ)求动点的轨迹E的方程;
(Ⅱ)已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点A,且与直线的交点为,以AP为直径作圆.判断点和圆的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照,,,,的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在,的数据).
(1)求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的2名同学来自不同组的概率.
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【题目】已知函数f(x)=ex(其中e为自然对数的底数),g(x)= x+m(m,n∈R).
(1)若T(x)=f(x)g(x),m=1﹣,求T(x)在[0,1]上的最大值;
(2)若m=﹣,n∈N*,求使f(x)的图象恒在g(x)图象上方的最大正整数n.[注意:7<e2<].
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1 , 设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.
求证:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1 .
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