Question

如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．
（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；
（Ⅱ）若

AC

AB

=

2

5

，求

AF

DF

的值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,圆的切线的判定定理的证明

专题：立体几何

分析：（Ⅰ）连结OD，由圆的性质得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能证明DE是⊙O切线．
（Ⅱ）过D作DH⊥AB于H，则有cos∠DOH=cos∠CAB=

AC

AB

=

2

5

，设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出

AF

DF

．

解答： （Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，
又OD为半径，∴DE是⊙O切线．
（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，
cos∠DOH=cos∠CAB=

AC

AB

=

2

5

，
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，
DH⊥AB，交AB于H，
∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，
又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，
∴

AF

DF

=

AE

OD

=

AH

OD

=

7x

5x

=

7

5

．

点评：本题考查圆的切线的证明，考查圆内两线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形全等和三角形相似的性质的合理运用．