Question

4．已知函数f（x）=|x|+|x-1|
（1）若f（x-3）-x-10≥0，求实数x的取值范围；
（2）若关于x的不等式f（x-3）＜m的解集不是空集，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）根据绝对值的意义，求得f（x-3）的最小值，可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）f（x-3）-x-10≥0，即|x-3|+|x-4|-x-10≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜3}\\{3-x+4-x-x-10≥0}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{3≤x＜4}\\{x-3+4-x-x-10≥0}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥4}\\{x-3+x-4-x-10≥0}\end{array}\right.$③．
解①求得 x≤-1，解②求得x∈∅，解③求得x≥17．
综上可得，实数x的取值范围为 {x|x≤-1，或x≥17 }．
（2）不等式f（x-3）＜m，即|x-3|+|x-4|＜m，而|x-3|+|x-4|表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，
再根据不等式的解集不是空集，可得m＞1．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，函数的能成立问题，属于中档题．