Question

11．某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，维护设备的正常运行第一年各种费用约为10万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加10万元．
（1）求该设备给企业带来的总利润y（万元）与使用年数x（x∈N^*）的函数关系；
（2）这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？

Answer 1

分析 （1）求出x年的总收入及维护等总费用，可得总利润y与使用年数x（x∈N^*）的函数关系；
（2）年平均利润为$\frac{y}{x}$，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由题意知，x年总收入为100x万元，
x年维护等总费用为10（1+2+3+…+x）=5x（x+1）万元，
∴总利润y=100x-5x（x+1）-180，x∈N^*，
即y=-5（x²-19x+36），x∈N^*；
（2）年平均利润为$\frac{y}{x}=-5（x+\frac{36}{x}）+95$，
∵x＞0，∴$x+\frac{36}{x}≥2\sqrt{x•\frac{36}{x}}=12$，
当且仅当$x=\frac{36}{x}$，即x=6时取“=”号．
∴$\frac{y}{x}≤35$．
答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元．

点评 本题考查函数模型的选择及其应用，考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．