Question

数列{a_n}中，a_n+1=|a_n-4|+2（n∈N⁺）．
（1）若a₁=1，求数列前n项和S_n．
（2）是否存在a₁（a₁≠3），使数列{a_n}成等差数列？若存在，求出a₁，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）a_n+1=|a_n-4|+2（n∈N⁺），a₁=1，可得a₂=5，a₃=3，…，可得a_n=3（n≥3），即可得出S_n．
（2）对a分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n+1=|a_n-4|+2（n∈N⁺），a₁=1，
∴a₂=|1-4|+2=5，
∴a₃=a₂-4+2=3，
a₄=3，
∴a_n=3（n≥3），
∴数列前n项和S_n=

1，n=1 6，n=2 3n，n≥3

．
（2）假设存在a₁=a（a₁≠3），使数列{a_n}成等差数列．
①假设a≥4，则a₂=|a-4|+2=a-2，∴公差d=-2．
∴a_n=a-2（n-1）=a+2-2n．
∵a_n+1=|a_n-4|+2（n∈N⁺）．
∴a+2-2（n+1）=|a+2-2n|+2，
化为a-2n-2=|a+2-2n|，
则当n=2时，化为a-6=a-2，即4=0，矛盾，因此假设不成立；
②假设a＜4，则a₂=|a-4|+2=6-a，∴公差d=6-2a．
∴a_n=a+（n-1）（6-2a）．
∴a₃=a+2（6-2a）=12-3a，
而a₃=|a₂-4|+2=|6-a-4|+2=

4-a，a≤2 a，2＜a＜4

，
当a≤2时，∴12-3a=4-a，解得a=4，矛盾．
当2＜a＜4时，由a=6-a，解得a=3，舍去．
综上可得：不存在a₁=a（a₁≠3），使数列{a_n}成等差数列．

点评：本题考查了等差数列的定义与通项公式、含绝对值的数列，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．