Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+1在x=-1处取得极大值，在x=3处取极小值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式并指出其单调区间；
（Ⅱ）讨论方程f（x）=k的实根的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,数形结合,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，由条件可知f′（x）=0的两根分别为x=-1或x=3，运用韦达定理，求得a，b，进而得到f（x）的解析式，求出单调区间即可；
（Ⅱ）求出极值，在同一坐标系内分别作y=f（x）和y=k的大致图象，通过图象观察交点个数，即可得到实根的个数．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知f′（x）=x²+2ax+b，f′（x）=0的两根分别为x=-1或x=3．
则有

-1+3=-2a -1×3=b

，解得，a=-1，b=-3．
则f（x）=

1

3

x³-x²-3x+1，
由题意知函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（3，+∞），
递减区间为（-1，3）．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的分析知，函数f（x）的极大值为f（-1）=

8

3

，
极小值为f（3）=-8．
在同一坐标系内分别作y=f（x）和y=k的大致图象．
则当k=

8

3

或k=-8时，原方程有且仅有两个不相等的实数根；
当k＜-8或k＞

8

3

时，原方程有且仅有一个不相等的实数根；
当-8＜k＜

8

3

时，原方程有且仅有三个不相等的实数根．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查函数方程的转化思想，以及数形结合的思想方法，属于中档题．