Question

定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的．已知数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），a₂=1，an+2=

2max{an+1，2}

an

(n∈N+)，若a₂₀₁₄=2a，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₄的值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：当0＜a＜2时，利用递推公式分别求出数列的前8项，得到数列{a_n}是以5为周期的周期数列，a₂₀₁₄=a₄=

8

a

=2a，解得a=±2，不成立；当a≥2时，利用递推公式分别求出数列的前8项，得到数列{a_n}是以5为周期的周期数列，a₂₀₁₄=a₄=4=2a，解得a=2，由此能求出S₂₀₁₄．

解答： 解：当0＜a＜2时，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，an+2=

2max{an+1，2}

an

(n∈N+)，
∴a₃=

1

a

•2max{1，2}=

4

a

＞2，
a₄=2max{

4

a

，2}=

8

a

，
a₅=

a

4

•2max{

8

a

，2}=4，
a₆=

a

8

•2max{4，2}=a，
a₇=

1

4

•2max{a，2}=1，
a8=

1

a

•2max{1，2}=

4

a

，
…
∴数列{a_n}是以5为周期的周期数列，
∵2014=402×5+4，
∴a₂₀₁₄=a₄=

8

a

=2a，
解得a=±2，不成立；
当a≥2时，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，an+2=

2max{an+1，2}

an

(n∈N+)，
∴a₃=

1

a

•2max{1，2}=

4

a

＜2，
a₄=2max{

4

a

，2}=4，
a₅=

a

4

•2max{4，2}=2a≥4，
a₆=

1

4

•2max{2a，2}=a＞2，
a₇=

1

2a

•2max{a，2}=1，
a₈=

1

a

•2max{1，2}=

4

a

，
…
∴数列{a_n}是以5为周期的周期数列，
∵2014=402×5+4，
∴a₂₀₁₄=a₄=4=2a，解得a=2，
∴S₂₀₁₄=402（a+1+

4

a

+4+2a）+a+1+

4

a

+4
=402（2+1+2+4+4）+2+1+2+4
=5235．
故答案为：5235．

点评：本题考查数列的前2014项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推公式和周期数列的合理运用．