Question

8．已知数集M={a₁，a₂，…，a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j与a_j-a_i两数中至少有一个属于M．
（Ⅰ）分别判断数集{0，1，3}与{0，2，3，5}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）证明：a₁=0，且a_n=$\frac{2}{n}（{a_1}+{a_2}+…+{a_{n-1}}+{a_n}）$；
（Ⅲ）当n=5时，证明：a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等差数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用新定义，可以判断集合{0，1，3}不具有性质P，{0，2，3，5}具有性质P；
（Ⅱ）令j=n，i＞1，可得a_n-a_i属于M，证明a_n=a_i+a_n+1-i，倒序相加即可得到结论；
（Ⅲ）当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a_i+a₅＞a₅，由M具有性质P，结合等差数列的定义逐步可得．

解答 （Ⅰ）解：由于3-1和3+1都不属于集合{0，1，3}，∴该数集不具有性质P；
由于2+0、3+0、5+0、3+2、5-2、5-3、0-0、2-2、3-3、5-5都属于集合{0，2，3，5}，∴该数集具有性质P． 
（Ⅱ）证明：令j=n，i＞1，则∵“a_i+a_j与a_j-a_i两数中至少有一个属于M”，
∴a_i+a_j不属于M，∴a_n-a_i属于M．
令i=n-1，那么a_n-a_n-1是集合M中某项，a₁不行，是0，a₂可以．
如果是a₃或者a₄，那么可知a_n-a₃=a_n-1，那么a_n-a₂＞a_n-a₃=a_n-1，只能是等于a_n了，矛盾．
∴令i=n-1可以得到a_n=a₂+a_n-1，
同理，令i=n-2、n-3，…，2，可以得到a_n=a_i+a_n+1-i，
∴倒序相加即可得到a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{n}{2}$a_n，即a_n=$\frac{2}{n}（{a_1}+{a_2}+…+{a_{n-1}}+{a_n}）$；
（Ⅲ）证明：当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a_i+a₅＞a₅，
由M具有性质P，a₅-a_i∈M，又i=1时，a₅-a₁∈M，
∴a₅-a_i∈M，i=1，2，3，4，5．
∵0=a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，∴a₅-a₁＞a₅-a₂＞a₅-a₃＞a₅-a₄＞a₅-a₅=0，
则a₅-a₁=a₅，a₅-a₂=a₄，a₅-a₃=a₃，
从而可得a₂+a₄=a₅，a₅=2a₃，故a₂+a₄=2a₃，即0＜a₄-a₃=a₃-a₂＜a₃，
又∵a₃+a₄＞a₂+a₄=a₅，∴a₃+a₄∉M，则a₄-a₃∈M，则有a₄-a₃=a₂=a₂-a₁．
又∵a₅-a₄=a₂=a₂-a₁，∴a₅-a₄=a₄-a₃=a₃-a₂=a₂-a₁=a₂，
即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅是首项为0，公差为a₂的等差数列．

点评 本题考查数列的综合应用，考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，属于难题．