Question

18．若函数f（x）满足：f（1）=1，f（x）•f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x∈R，y∈R），则f（2016）=-1．

Answer 1

分析 取x=1，y=0，得f（0）=2，取x=y=1，得f（2）=-1，取x=y=2，得得f（4）=-1，取x=y=4，得f（8）=-1，以此类推，得到f（2016）的值．

解答 解：∵函数f（x）满足：f（1）=1，f（x）•f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x∈R，y∈R），
∴取x=1，y=0，得f（0）=f（1）+f（1）=2，
取x=y=1，得1=f（2）+f（0）=f（2）+2，得f（2）=-1，
取x=0，得f（0）f（y）=f（y）+f（-y），∴f（y）+f（-y）=2f（y），∴f（x）是偶函数，
取x=y=2，得f（2）•f（2）=f（4）+f（0），∴1=f（4）+2，解得f（4）=-1，
取x=y=4，得f（4）•f（4）=f（8）+f（0），∴1=f（8）+2，解得f（8）=-1，
…
以此类推，得到：f（2016）=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抽象函数性质和特值法的合理运用．