Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若b=

3

a，S_△AOB=

3

，则p=（　　）

• A、1
• B、

  3

  2

• C、2
• D、3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的渐近线方程与抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为

3

，列出方程，由此方程求出p的值．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程是y=±

3

x，抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程是x=-

p

2

，
故A，B两点的纵坐标分别是y=±

3

2

p，
又S_△AOB=

3

，x轴是角AOB的角平分线
∴

1

2

×

3

p×

p

2

=

3

，解得p=2．
故选：C．

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系．