Question

15．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）求销量y对单价x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价大概定为多少元？
附：$\sum_{i=1}^6{x_i}$=51$\sum_{i=1}^6{y_i}$=480$\sum_{i=1}^6{x_i}{y_i}$=4066$\sum_{i=1}^6{x_i^2}$=434.2，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$是样本平均值．

Answer 1

分析 （1）计算平均数，利用$\stackrel{∧}{b}$=-20，求出$\stackrel{∧}{a}$，即可求得回归直线方程；
（2）设工厂获得的利润为L元，利用利润=销售收入-成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大．

解答 解：（1）由已知可得：
$\overline{x}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{x_i}=\frac{51}{6}=8.5$，
$\sum_{i=1}^6{{x_i}^2}=434.2$，
$\overline{y}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^6{y_i}=\frac{480}{6}=80$，
$\sum_{i=1}^{6}{x}_{i}{y}_{i}$=4066．
∴$\hat b=\frac{4066-6×8.5}{434.2-6×8.5×8.5}=-\frac{14}{0.7}=-20$
∴$\hat a=80+8.5×20=250$
∴$\hat y=-20x+250$
（2）设工厂获得利润为L
则L=（x-4）（-20x+250）=-20x²+330x-1000，
当$x=\frac{330}{40}=8.25$时，y有最大值，
∴该产品的单价大概定为8.25元．

点评 本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，是一个新课标中出现的新知识点，本题解题的关键是正确运算出线性回归方程系数的值，本题是一个中档题目．