Question

若f（n）为n²+1（n∈N^*）的各位数字之和，如：14²+1=197，1+9+7=17，则f（14）=17；记f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），f₃（n）=f （f₂（n）），…f_k+1（n）=f（f_k（n）），k∈N^*，
则f₂₀₁₅（9）=

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：利用已知条件求出数列的前几项，推出数列的特征周期数列，然后求解即可．

解答： 解：∵9²+1=82，∴f₁ （9）=f （9）=10；
∵10²+1=101，∴f₂ （9）=f （f₁（9））=f （10）=2；
∵2²+1=5，∴f₃ （9）=f （f₂（9））=f （2）=5；
∵5²+1=26，∴f₄ （9）=f （f₃（9））=f （5）=8；
∵8²+1=65，∴f₅ （9）=f （f₄（9））=f （8）=11；
∵11²+1=122，∴f₆ （9）=f （f₅（9））=f （11）=5．
∴数列{ f_n （9）}从第3项开始是以3为周期的循环数列
∵2015=2+671×3，
∴f ₂₀₁₅（9）=f ₅（9）=11．
故答案为：11．

点评：考查考查数列与函数相结合．考查阅读和推理能力．