Question

给出下列命题：
①若A，B是锐角△ABC的两内角，则有sinA＞cosB；
②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为2个；
③如果

sinα-2cosα

3sinα+5cosα

=-5，那么tanα的值为-

23

16

；
④存在实数x，使得等式sinx+cosx=

3

2

成立；
⑤若0＜x≤1，则

sin2x

x2

＜

sinx

x

其中正确的命题为______（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

对于①：
A、B、C为锐角△ABC的三个内角，
∵A+B＞

π

2

，∴A＞

π

2

-B，
∴sinA＞sin（

π

2

-B），
即sinA＞cosB．∴①正确；
对于②：
画出函数y=sinx和y=lgx的图象，
结合图象易知这两个函数的图象有3交点．


所以②错误；
对于③：
由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，

tanα-2

3tanα+5

=-5，
∴tanα=--

23

16

．
∴③正确；
对于④：
sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)≤

2

，
∵

3

2

＞

2

，
∴④错误：
对于⑤：
∵当x为锐角时，则有
sinx＜x＜tanx，
∴0＜

sinx

x

＜1，
∴

sin2x

x2

＜

sinx

x

，
故⑤正确；
故答案为①③⑤